Распределение Максвелла: как скорости молекул определяют физические свойства газов

Распределение Максвелла является одним из основных распределений вероятности в физике и статистической механике. Оно описывает распределение скоростей частиц в газах, а также распределение модуля скорости в трехмерном пространстве. Распределение Максвелла названо в честь выдающегося физика Джеймса Клерка Максвелла, который впервые описал это распределение в 1860 году.

Общая информация о распределении Максвелла

Распределение Максвелла широко используется для описания поведения газов в различных условиях. Оно позволяет определить, какие скорости наиболее вероятны для молекул газа при определенной температуре. Данные выводы играют важную роль во многих областях науки и техники, таких как астрофизика, аэродинамика, космическая техника, энергетика и другие.

Распределение Максвелла было открыто Джеймсом Клерком Максвеллом в 1860 году. В своей работе "На распределении скоростей молекул в газах" Максвелл показал, что для идеального газа, состоящего из множества молекул, распределение скоростей этих молекул может быть описано несколькими непрерывными функциями. Одной из них было именно распределение Максвелла. Позднее было выяснено, что аналогичные законы распределения существуют для других физических величин, таких как энергия и вероятность.

После открытия распределения Максвелла оно было широко применено в научных исследованиях, и в настоящее время остается одним из важнейших инструментов в различных областях науки и техники.

Если рассмотреть идеальный газ, который состоит из атомов, не взаимодействующих друг с другом и находящихся в основном состоянии, то в таком газе вся энергия будет представлена кинетической энергией. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы и связана с ней. 

Формула распределения по вектору импульса:

где p² — квадрат вектора импульса.

Распределение по абсолютной величине импульса, показывает вероятность нахождения частицы с определенной абсолютной величиной импульса. Оно является функцией распределения частиц по модулю скорости и используется в физике и технике для описания распределения скоростей частиц в системах различной природы.

Формула распределения Максвелла-Больцмана по модулю скорости выражается через массу частицы, температуру и константу Больцмана:

Распределение по энергии описывает вероятность нахождения частицы системы с определенной энергией. Это распределение используется в физике для анализа энергетических свойств системы и выражается через массу частиц, температуру и константу Больцмана:

Распределение по модулю скоростей описывает вероятность нахождения частицы системы с определенным значением абсолютной скорости. Оно является более интересным, чем распределение по проекциям скоростей, т.к. учитывает величину скорости независимо от ее направления. Для расчета вероятности используется функция плотности вероятности для модуля скорости. Поскольку модуль скорости всегда больше или равен нулю, то распределение его квадрата будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы.

Фрмула модуля скорости выглядит так:

где m - масса молекулы, v - модуль скорости, k - постоянная Больцмана, T - температура газа.

Эта формула описывает вероятность нахождения молекулы газа со скоростью v. Она показывает, что наибольшая вероятность нахождения молекулы газа приходится на значение скорости, равное корню квадратному из отношения 2kT / m. Это значит, что скорость молекулы газа зависит от температуры и массы молекулы, и чем выше температура газа, тем больше скорости молекул.

Применение распределения Максвелла

Кинетическая теория газов

Распределение Максвелла широко применяется в кинетической теории газов. Эта теория позволяет определять физические свойства газов, такие как давление, объем, температура, на основе движения и взаимодействия молекул в газе. Распределение Максвелла показывает, какие скорости молекул в газе наиболее вероятны, что позволяет оценить их средние значения и изменения при изменении условий.

Применение в научных и промышленных исследованиях

Распределение Максвелла используется в научных и промышленных исследованиях в различных областях, например, в космической технике оно используется для описания движения газовых частиц в космических аппаратах и ракетах, в астрономии - для изучения свойств звезд и галактик, а в химии - для анализа кинетических параметров химических реакций.

Связь с термодинамикой

Распределение Максвелла имеет тесную связь с термодинамикой. Согласно термодинамическим законам, температура системы является мерой средней кинетической энергии молекул в этой системе. Распределение Максвелла показывает, как распределены скорости молекул в системе при определенной температуре, что можно использовать для определения средней кинетической энергии.

Распределение Максвелла также имеет статистическое описание в рамках статистической физики. Статистическая физика позволяет описать состояние системы, основываясь на распределении вероятностей. В случае распределения Максвелла статистическое описание показывает, как заряжены энергия и момент колебаний молекул газа.

Параметры распределения

Как уже упоминалось, параметры распределения Максвелла зависят от массы молекулы и температуры газа. Чем выше масса молекулы, тем более узкое распределение скоростей, а чем выше температура, тем больше скоростей молекул, тем шире распределение скоростей.

Распределение Максвелла обычно представляется на графике в виде кривой, которая имеет колоколообразную форму. Это связано с тем, что наибольшее количество молекул газа имеют скорости, близкие к среднему значению скоростей. При этом вероятность нахождения молекул с очень высокими или очень низкими скоростями крайне мала.

Отличия от других распределений

Распределение Максвелла отличается от других распределений вероятностей, например, распределения Гаусса (нормального распределения) тем, что оно более широкое и несимметричное. Также, в отличие от Гауссовского распределения, которое можно использовать для описания различных случайных процессов, распределение Максвелла применимо только для описания скоростей молекул в газе.

Заключение

Распределение Максвелла является важным инструментом для изучения физических свойств газов и является одним из наиболее широко используемых распределений вероятностей в физике и статистической механике. Оно позволяет определить, какие скорости молекул газа наиболее вероятны, что важно для понимания поведения газов в различных условиях. Особенности распределения Максвелла, такие как зависимость от массы молекулы и температуры, а также его графическое представление, делают его полезным инструментом для исследований в различных областях науки и техники.