Физический смысл производной

Рассматривая некоторое движущееся тело, мы знаем, что его скорость определяется по формуле V=s(t)/t, где s(t) – функция пути по времени. Найдя производную функции s(t), мы сможем узнать мгновенную скорость тела в любой момент времени, а производная от скорости поможет определить ускорение тела, то есть скорость изменения его скорости. Суть данных вычислений и определяет физический, или механический, смысл производной.

Записать их можно следующим образом:

v=s’(t) – мгновенная скорость

a=v’(t)=s’’(t) – ускорение

Из второй формулы мы видим, что ускорение является также второй производной от функции пути.

Пример 1.

На стене сидит муха. Известно, что скорость ее движения в полете составляет 2 м/с. Какова скорость мухи через 3 секунды после взлета?

Для решения задачи используем функцию пути от времени s(t)=vt, где v и t – скорость и время движения мухи. Поскольку нам необходимо узнать скорость движения мухи в определенный момент времени, возьмем производную от этой функции:

Таким образом, скорость мухи через 3 секунды будет равна 2 м/с. Собственно, она будет такой в любой момент времени t, поскольку функция пути описывается простой функцией.

Движение некой точки описывается следующей функцией: s(t)=5t³-3t²+7t-2. Найдите скорость точки.

Итак, мы имеем функцию пути от времени. Для того, чтобы узнать скорость движения точки, необходимо найти производную указанной функции.

Данным уравнением описывается скорость движения точки. Подставив в него при необходимости любое значение t, мы найдем его числовое значение.

Некое тело движется согласно следующему закону: s(t)=2t²-7t+3, где s выражено в метрах, а t – в секундах. Установите время, когда скорость тела была равна 5 м/с. Мы знаем, что скорость тела – это производная функции пути, поэтому решение задачи начнем с этого этапа.

В задаче указано значение скорости – 5 м/с, поэтому, подставляя его вместо V(t) в полученное выражение, мы узнаем искомое время.

Путь объекта можно представить в виде функции s(t)=t³+2t²-t+1. В какой момент времени его ускорение достигнет значения 7?

Зная, что ускорение – это производная от скорости, или вторая производная от функции пути, найдем ее:

Подставляем в уравнение значение a и получаем следующее выражение:

То есть, в момент времени 0,5 ускорение объекта равно 7.

Итак, подводя итог теме физического смысла производной, выделим главное: имея функцию движения тела, мы можем узнать его скорость и ускорение в любой момент времени, вычислив соответственно первую и вторую производную от данной функции.